Van myriade tot quetta
22 januari 2023
Van alle woorden voor grote aantallen klinkt myriade het meest sprookjesachtig. Hoewel het nu een talloze menigte aanduidt, was een myriade oorspronkelijk een specifieke hoeveelheid. Tienduizend, om precies te zijn. Myriade speelt een bijzondere rol in De zandrekenaar. In deze tekst uit de derde eeuw v.Chr. bespreekt Archimedes een nieuw model van de kosmos dat was voorgesteld door zijn tijdgenoot, Aristarchus van Samos.
Volgens Aristarchus was de kosmos veel groter dan sterrenkundigen tot dan toe hadden gedacht. Hij had ontdekt dat de zon veel groter is dan de aarde en daarom vond hij het logischer dat de aarde rond de zon draait en niet omgekeerd. Hij dacht ook dat de vaste sterren een soort zonnen zijn, die op veel grotere afstand van ons staan.
In De zandrekenaar zoekt Archimedes uit hoe groot de kosmos moet zijn als Aristarchus gelijk heeft. Om de uitkomst nog wat aan te dikken, berekent hij hoeveel fijn zand er zou passen in een denkbeeldige bol die tot aan de sterren reikt — vandaar de titel van zijn werk. De uitkomst was zo groot dat er eeuwenlang niemand geloof hechtte aan het heliocentrische model van Aristarchus.
Archimedes moest stapsgewijs nieuwe manieren bedenken om grote getallen uit te drukken om ons het gigantische, maar toch eindige aantal zandkorrels in dit kosmische volume voor te rekenen. Wij kunnen nu machten van tien gebruiken, maar onze compacte notatie voor andere exponenten dan twee of drie werd pas geleidelijk ontwikkeld vanaf de vijftiende eeuw.
Archimedes vertrekt van een myriade als ‘eerste getal’ (104). Dan maakt hij een myriade van myriades, dus honderd miljoen (104×104 = 108). Deze hoeveelheid gebruikt hij verder als een nieuwe eenheid: een ‘tweede getal’. Hij vermenigvuldigt de eenheid van de vorige orde telkens weer met een myriade van myriades. Het ‘derde getal’ is dus tien biljard (108×108 = 1016), het ‘vierde getal’ een quadriljoen (1016×108 = 1024), en zo verder. In het algemeen is het ‘n-de getal’ bij Archimedes dus 108×(n - 1) in onze notatie.
Nu komt Archimedes echt op dreef. Om sneller nog grotere getallen te maken, vermenigvuldigt hij een myriade myriades een myriade myriades keer met zichzelf. Dat brengt ons in een klap bij (108)^(108), wat Archimedes een nieuwe ‘periode’ noemt. Ook deze operatie van machtsverheffing kun je herhalen, om zo bij ((108)^(108))^(108) komen. Dit is het grootste getal uit De zandrekenaar en komt overeen met 10^(8×1016): een 1 gevolgd door tachtig biljard nullen.
Maar hebben we dit gigantische getal ook nodig om de kosmische bol van Aristarchus met fijn zand te vullen? Nee, daar had Archimedes die nieuwe periodes helemaal niet voor nodig. Hij besluit dat ‘duizend myriades van het achtste getal’ meer is dan het aantal zandkorrels in de kosmos van Aristarchus. Het achtste getal is 108×7 = 1056. Dus duizend myriades van het achtste getal is 103×104×1056 = 1063 of een deciljard.
Het systeem van Archimedes om grote getallen uit te drukken gebruikt niemand meer, maar wetenschappers blijven nieuwe namen bedenken voor grote hoeveelheden. Bij het internationale systeem van eenheden horen vaste prefixen, die de eenheid met een welbepaalde macht van tien vermenigvuldigen. Sinds 1991 hadden deze SI-prefixen al een bereik van yotta (Y = 1024) tot yocto (y = 10-24).
In november 2022 zijn er vier nieuwe SI-prefixen toegevoegd. Aan de bovenkant van de schaal staan nu ronna voor een quadriljard (R = 1027) en quetta voor een quintiljoen (Q = 1030). Die zijn handig in de sterrenkunde, want de massa van de aarde is bijna 6 Rg (ronnagram) en die van Jupiter bijna 2 Qg (quettagram). Corresponderend aan de onderkant van de schaal vinden we ronto voor een quadriljardste (r = 10-27) en quecto voor een quintiljoenste (q = 10−30). De massa van een elektron is bijvoorbeeld bijna 1 rg (rontogram). De uitersten van de SI-schaal liggen nu dus een factor 1060 uit elkaar, of ‘een myriade van het achtste getal’ zoals Archimedes zou zeggen.
Er waren ook andere voorstellen in omloop (zoals ‘hella’ voor 1027), maar die hebben het niet gehaald omdat dezelfde beginletter al in gebruik was. Kijk, dat probleem had Archimedes niet.